補充講義P.2

(1)有多項式f(x)、g(x),若F(X)除以X平方-1的餘式是3X+2,G(X)除以X平方+2X-3的餘式為5X+2,則(X+3)．F(X)+(5X平方+1)．G(X)除以X-1的餘試是?

(2)設F(X)=(A+4)X立方+(B-3)X平方+(3C+6)X+D,F(1)=F(2)=F(3)=F(4)=7,則A+B+C+D=?

(3)設X-(1／Ｘ)＝１，則Ｘ立方－（１／Ｘ立方）＝？

（４）設Ｘ＋（１／Ｘ）＝４，則Ｘ立方＋（１＋Ｘ立方）＝？

（５）若Ｘ＞０，則Ｘ－（１／Ｘ）＝１，則Ｘ四次方－（１／Ｘ四次方）＝？

（６）解方程式Ｘ平方－５Ｘ＋２{根號(Ｘ平方－５Ｘ＋３)}＝１２，其和等於？

（７）方程式２Ｘ平方＋２Ｘ－（６／Ｘ平方＋Ｘ）＝１中最大實根＝？

（８）設Ｆ(X)=X四次方+2X立方-3X平方+4X-5,則F(1／根號2-1)=?

(9)設P(X)=2X四次方-6X平方-15X+3=AX(A-1)(X-2)(X-3)+BX(X-1)(X-2)+CX(X-1)+DX+E,則下列何者正確?(A)A=3  (B)=–19 (C)=8  (D)=12

(10)三次多項式F(X),若F(1)=F(2)=F(3)=–２,又F(0)=–14,則F(4)=?

(11)T是實數,若一元一次方程式(T平方-4T+3)X-1=T–2(T-3)X無解,則T之值為?

(12)多項式F(X)以X(X-1)除之,餘式為AX+3,以X平方-1除之,BX+4,若以X(X+1)
除之,餘式為X+C,求A.B.C之和=?

(13)方程式X四次方+5X立方+6X平方+5X+1=0所有實根之和=?

(14)設α.β為X平方-X-3=0的二根,且若方程式X平方+AX+B=0的二根為(α+β)、(αβ),求A+B=?

1.                       
設
F(x)=
G(x)==(x+3)(x-1)(b)+(5x+2)
的餘式為
就是的餘式
其餘式為62

2.
因為f(x)-7是三次式卻有4個解

只有f(x)-7=0  才有可能

故A=-4  B=3  C=-2  D=7

3.


=
所以
由於
  →
  →
故

4.
題目是不是出錯

若沒錯  Ｘ^3＋（１＋Ｘ^3）=2x^3+1

由 x+1/x=4  =>x^2-4x+1=0
公式解  x=2±√3
x^3=26±5√3
故 2x^3+1=53±10√3

若有錯
我猜是 X^3+(1/x)^3
則由（x+1/x)^3=64=x^3+3x+3(1/x)+(1/x)^3=X^3+(1/x)^3+3[x+1/x]
                =X^3+(1/x)^3+3*4=X^3+(1/x)^3+12

故X^3+(1/x)^3=64-12=52
     (註:^後的數字為次方項)

5.

=
故=
由於
  →
  →


→
→（0）(4x-2)+(6x-3)=6x-3

6.
令
則方程式可看成
            →
            →
            →
            →(A-22)(A-6)=0
故A=22 or 6
,得

故和=

7.
令
則方程式為

可是無實根
有實根-2,1
所以最大實根為1

8.
,則
令



把代入得

9.

當P(0)=3,右項E=3
當P(1)=-16,D+E=-16→D=-19
當P(2)=-19,2C+2D+E=-19→C=8
當P(3)=66,6B+6C+3D+E=66→B=12
當P(4)=359,

10.
因F(1)=F(2)=F(3)=-2
故令F(x)=A(x-1)(x-2)(x-3)-2
因F(0)=-14,得-6A-2=-14,A=2
所以F(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)-2
故當F(4)=2(4-1)(4-2)(4-3)-2=10

11.


因為無解



但T≠-1
因為會變成3x=3x
故T=3

12.
F(1)=A+3=B+4
F(-1)=-B+4=-1+C
F(0)=3=C

故B=2 A=3 A+B+C=8

13.
原式＝x^2([x^2+5x+6+5(1/x)+(1/x)^2]
令(x+1/x)=A
A^2=x^2+2+(1/x)^2
故原式=x^2(A^2-2+5A+6)=0
A=-4 or -1
故
x^2+1=-4x               or x^2+1=-1x
=>x^2+4x+1=0  x=-2±√3    =>x^2+x+1=0 無實數解

故x=-2±√3
(註:^後的數字為次方項)

14.

令α=,β=
α+β=1
αβ=
(x-1)(x+3)=

A=2,B=-3
A+B=-1




若有錯請提出來,謝謝！

[ 本帖最後由 nevoussun 於 2008-3-28 20:20 編輯 ]

剛發現還有12 13 沒解

12

F(1)=A+3=B+4
F(-1)=-B+4=-1+C
F(0)=3=C

故B=2 A=3 A+B+C=8

13
原式＝x^2([x^2+5x+6+5(1/x)+(1/x)^2]
令(x+1/x)=A
A^2=x^2+2+(1/x)^2
故原式=x^2(A^2-2+5A+6)=0
A=-4 or -1
故
x^2+1=-4x               or x^2+1=-1x
=>x^2+4x+1=0  x=-2±√3    =>x^2+x+1=0 無實數解

故x=-2±√3